南开19秋《高等数学（二）》课程期末复习资料

南开19秋《高等数学（二）》课程期末复习资料满分答案

《高等数学（二）》课程期末复习资料
  《高等数学（二）》课程（PPT）讲稿章节目录：
 
第5章  不定积分
5.1  不定积分概念
5.2  换元积分法
5.3  分部积分法
 
第6章  定积分
6.1  定积分的概念
6.2  定积分的性质
6.3  牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式
6.4  定积分的计算
6.5  广义积分初步
6.6  定积分在几何上的应用
第6章 习题课
第7章  向量代数与空间解析几何
  7.1 空间直角坐标系
   7.2  向量代数
  7.3  平面及其方程
   7.4  空间直线及其方程
  7.5  曲面与二次曲面
第8章  多元函数微分学
   8.1 多元函数的概念
  8.2  偏导数
  8.3  全微分
  8.4  多元复合函数的微分法
  8.5  隐函数的微分法
  8.6  方向导数与梯度（省略）
  8.7  偏导数在几何上的应用
  8.8  多元函数的极值与最值
   第8章 习题课
第9章  二重积分
    9.1  二重积分的概念及性质
    9.2  直角坐标系中二重积分的计算
第10章  微分方程（选用教材中为第12章）
   10.1   微分方程的基本概念
   10.2   一阶微分方程
   10.3   可降阶的高阶微分方程（省略）
   10.4   线性微分方程解的结构
   10.5   常系数线性齐次微分方程
（PPT讲稿文件共有24个。）
 
 
一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）
（一）、单项选择部分
1．（  ）。
（A）  （B） （C）  （D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.1（考核知识点解释及答案）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,记作
，其中称为积分号； 称为被积函数；称为
被积表达式.称为积分变量.
显然,若为在上的一个原函数,则
            ,为任意常数.
基本积分表：
 (为常数)；












上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里
作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用了基本积分公式：。
答案：（C）。
2．  （    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.2（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
，
。
计算过程如下：
  。
    答案：。
3．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.3（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
常用换元公式如下：
；                      ；
；                        ；
；                            ；
；                      ；
；                    ；
；                 。
“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性
给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用常用换元公式：。
计算过程如下：

答案：。
 
4． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.4（考核知识点解释及答案）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则=0。
事实上，=+=
               =+=
               =+=
               =。
当为奇函数时，+=0，故=0。
在定积分计算中可以利用这个结论。
答案： （A）0 。
5．（    ）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.5（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
 如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　    
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
。
答案：（D）1。
6．  （     ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.6（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作.
本题利用基本积分公式：。
计算过程如下：
。
答案：。
7．  （     ）。

 
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.7（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
运用不定积分的性质
，
本题利用基本积分公式：  
计算过程如下：
  。
    答案：。
 
8．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.8（考核知识点解释及答案）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作.
关系式：。
计算过程如下：

答案：。
 
9．（    ）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.9（考核知识点解释及答案）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则=0。
事实上，=+=
               =+=
               =+=
               =。
当为奇函数时，+=0，故=0。
在定积分计算中可以利用这个结论。
答案：（C）0 。
 
10．（    ）。
（A）-1；  （B）0；； 
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.10（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
 如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　    
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
 
计算过程如下：
。
答案：。
11．（    ）。
（A）  （B） （C）  （D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.11（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,
记作.
本题利用基本积分公式：。
计算过程如下：

答案：（C）。
 
12．（     ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.12（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
运用不定积分的性质
，
本题利用基本积分公式：。
 
计算过程如下：
  。
    答案：。
13．（    ）。

★考核知识点: 不定积分的换元积分法
附1.1.13（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
本题利用常用换元公式：。
本题利用基本积分公式：
计算过程如下：
。
答案：。
 
14．（    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.14（考核知识点解释及答案）：
利用换元积分法可以证明：
若在[a,b]上连续且为奇函数，则=0。
事实上，=+=
               =+=
               =+=
               =。
当为奇函数时，+=0，故=0。
在定积分计算中可以利用这个结论。
 
答案： （A）0 。
 
15．（    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.15（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
 如果函数在上连续，且是在上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　    
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数在上的定积分，就是计算的任一原函数在上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
1。
答案：（B）1。
16． 

★考核知识点: 微分方程的基本概念
附1.1.16（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
答案：（A）4阶的。
17． 
 
★考核知识点: 微分方程的基本概念
附1.1.16（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
答案：（A）3阶的。
 
18． 
 
★考核知识点: 微分方程的基本概念
附1.1.16（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
答案：（D）5阶的。
 
 

南开19秋《高等数学（二）》课程期末复习资料多选题答案

二、主观部分：
（一）、填空部分
1. ＝_________________________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.1（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1) 易求出；(2) 比容易积出.
计算过程如下：
设,则，有：
＝=
                  ＝＝
答案：。
 
2.  __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.2（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作.于是导数
。
计算过程如下：
。
答案：。
 
3. 设向量，则向量的模为_________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.3（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量和称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
记号既表示点，又表示向量，因此，求点的坐标就是求的坐标。但要注意，在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当表示向量时，可对它进行运算；当表示点时，就不能进行运算。
计算过程如下：
                  =
答案：。
4. _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.4（考核知识点解释及答案）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为
 
答案：。
 
5. _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.5（考核知识点解释及答案）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

答案：。
 
6.  =_______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.6（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1) 易求出；(2) 比容易积出.
计算过程如下：
设 ，  则 ， 。从而
             = =
                    =
答案：。
 
7.  __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.7（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作.于是导数
。
计算过程如下：
。
答案：。
8. 设向量，则与该向量同方向的单位向量为_____________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.8（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。
方向相同且模相等的两个向量和称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
                  =；=。
答案：。
 
9. _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.9（考核知识点解释及答案）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为
 
答案：。
 
10. _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.10（考核知识点解释及答案）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

答案：。
 
11.  = _______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.11（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
如果和都是的可微函数，分部积分公式为
。
与的选择要求：(1) 易求出；(2) 比容易积出.
计算过程如下：
设 ，，则 ，，有
             = =
                    = =
                    =。
答案：。
 
12. __________.
★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.12（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作.于是导数
。
计算过程如下：
。
答案：。
 
13. 设向量，则与该向量反方向的单位向量为_____________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.13（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量。方向与相反的向量为。
在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，叫做点关于点的向径，通常用表示。

称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
                  =；=。
答案：。
 
14. _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.14（考核知识点解释及答案）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面经过一定点且其法线向量为，下面来建立平面方程。设点是平面上任一点，则向量必与平面的法线向量垂直，于是，而，，所以平面方程为
 
答案：。
15. _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.15（考核知识点解释及答案）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

答案：。
16. _________________________.
★考核知识点: 二重积分的几何意义
附2.1.15（考核知识点解释及答案）：
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积的代数和。在这里，体积是平顶柱体，高为1，积分区域为圆面积。因此

答案：。
17. _______________.
★考核知识点: 二重积分的几何意义
附2.1.15（考核知识点解释及答案）：
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积的代数和。在这里，体积是平顶柱体，高为1，积分区域为圆面积。因此

答案：。
18. _______________.
★考核知识点: 二重积分的几何意义
附2.1.15（考核知识点解释及答案）：
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积的代数和。在这里，体积是平顶柱体，高为1，积分区域为圆面积。因此

答案：。
 
 
（二）、计算题
1. 计算 。
★考核知识点: 定积分的换元积分法
附2.2.1（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
定积分的概念： 设函数y=f（x）在区间[a，b]上有定义，用分点
a=x<x<xx<xx<x=b
将区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度为=
（i=1，2，n），记 ，在每个小区间[]上
任取一点，作乘积：
（i=1，2，n）
将这些乘积相加，得到和式：

这个和称为函数y=f（x）在区间[a，b]上积分和。
令，若积分和S有极限I，则称此极限值为y=f（x）在[a,b]上的
定积分，记作
I==
记号“”为积分符号，来自字母“S”的一种古老写法，它表示“sum”（和），与“”一样；积分中的“dx”从因子变来的；a和b分别称为积分下限和积分上限，[a，b]称为积分区间，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式。
设函数在区间上连续，并且满足下列条件：
（1），且，；
（2）在区间（或）上单调且有连续的导数；
则有

上述公式称为定积分的换元积分公式.
在应用换元积分公式计算定积分时需要注意：公式相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量.
答案：
设，则=-=
==.
 
2. 。
★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.2（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
答案：
。
 
3. 计算。
★考核知识点: 定积分的分布积分法
附2.2.3（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设在[a,b]上具有连续导数，则有
                    
故
  
              
这就是定积分的分部积分公式。
答案：
设u=arcsin,则
     ==
                 =+=
                 =
 
4. 
★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.4（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
 
答案：

 
5. 计算 。
★考核知识点: 定积分的计算
附2.2.5（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设在[a,b]上具有连续导数，
则有定积分的分部积分公式
                       
    有时要同时应用多种积分法来计算定积分，比如换元积分法和分部积分法。
答案：
设，则
   ===
          ==
          ==
          ==2
 
6. 
★考核知识点: 复合函数的全导数
附2.2.6（考核知识点解释及答案[解答过程]）：

答案：

7. 计算。
★考核知识点: 积分上限的函数及其极限
附2.2.7（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设函数在上连续，为上的任意一点，则积分存在.当在区间上变化时，积分是上限的函数，称为积分上限的函数，记作.于是导数
。
 
运用洛必达法则计算。
答案：
。
 
8. 计算反常积分。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.8（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
函数的定义域是无穷区间，或，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
答案：
 
=
=
.
 
9. 计算反常积分。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
附2.2.9（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
被积函数为无界的情况，称为无界函数的积分.
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
答案：
 

 
10.求函数的极值。
★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.10（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
设函数，求函数的极值步骤如下：
（1）求方程组
              ，
的一切实数解，得到一切驻点。
（2）对每个驻点，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
当时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值；时，函数达到极小值。
答案：

11.
★考核知识点: 求多元函数的极值
附2.2.11（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
     二元隐函数的求导公式：
设，则

设函数，求函数的极值步骤如下：
（1）求方程组
              ，
的一切实数解，得到一切驻点。
（2）对每个驻点，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
当时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值；时，函数达到极小值。
答案：
 

12.已知直角平行六面体的长、宽、高之和为定数，求其最大体积。
★考核知识点: 求多元函数的最大（最小）值，
附2.2.12（考核知识点解释及答案[解答过程]）：
条件极值问题可以用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法：
求函数在条件下的极值点，按如下方法。