19秋福师《实变函数》在线作业二[满分答案]满分答案
福师《实变函数》在线作业二-0002
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
2.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
3.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
4.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
5.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
6.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
8.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
9.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
11.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
12.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
13.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
14.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
15.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
17.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
19.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
20.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
21.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
22.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
23.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
24.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
25.可数集的测度必为零，反之也成立.
26.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
27.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
28.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
29.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
30.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
31.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
32.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
34.零测度集的任何子集都是可测集.
35.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
36.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
37.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
19秋福师《实变函数》在线作业二[满分答案]多选题答案
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.fn->f,a.e.,则
A.fn几乎一致收敛于f
B.fn依测度收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
39.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.非充分非必要条件
B.必要条件
C.充要条件
D.充分条件
40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.绝对连续函数
C.有界变差函数
D.单调函数
41.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.A为开集
B.A为孤立点集
C.A不完备
D.Ac为稠集
42.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.有连续统势的集
C.基数为2^c的集
D.可数集
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
B.f至多有可数个第一类间断点
C.f为有界函数
D.Vax(f)为增函数
44.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.连续函数
B.有界函数
C.是L可测函数
D.不是L可测函数
45.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
B.f∈Lip[a,b]
C.f∈C[a,b]
D.f∈BV[a,b]
46.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
47.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.|g|可测
B.g^2可测
C.fg不可测
D.f+g不可测
48.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
B.几乎处处可微
C.f'可积
D.L可积
49.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.max(f,g)有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.f+g有界变差函数
50.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A.绝对连续函数
B.有界变差函数
C.有界函数
D.可测函数
19秋福师《实变函数》在线作业二[满分答案]历年参考题目如下：
